Solides de Platon, d’Archimède et de Catalan

Ce billet de blog fait écho à la dernière vidéo publiée sur la chaîne, dans laquelle j’abordais les formes des dés et parlais vaguement des solides de Catalan. Il est temps d’éclaircir le mystère.

C’est l’heure du dual !

Lorsque l’on parle de solides, on ne peut évidemment pas passer outre les solides de Platon, au nombre de 5.

Les 5 solides de Platon : Tétraèdre régulier, Cube, Octaèdre régulier, Dodécaèdre régulier et Icosaèdre régulier

Rappelons les conditions d’entrée dans ce club très fermé :

• Le polyèdre doit être convexe (sans creux, il doit pouvoir être posé sur chacune de ses faces)
• Toutes les faces doivent être des polygones réguliers identiques
• Elles ne doivent pas se couper, hormis sur les arêtes
• Tous les sommets doivent être le point de rencontre du même nombre de faces

Forcément, avec toutes ces conditions, pas étonnant de ne compter que peu de membres. Et encore, ce nombre pourrait être, d’une certaine manière, réduit à 3 si l’on regroupe ensemble les polyèdres duaux.

Pour construire le dual d’un polyèdre régulier, il suffit de placer un point au centre de chacune de ses faces. Il faut ensuite relier les points qui appartiennent à des faces adjacentes, qui partagent une arête. Par exemple, en faisant ce procédé, on voit que l’octaèdre est le dual du cube.

Octaèdre et cube sont duaux.

De la même manière, on se rendra compte que dodécaèdre et icosaèdre sont duaux et que le tétraèdre est son propre dual.

Puisque les sommets de l’un deviennent les faces de l’autre et inversement, deux polyèdres duaux partagent alors les mêmes propriétés de symétrie. On se restreint alors à trois groupes de symétrie : les symétries du tétraèdre, du cube et du dodécaèdre

Relâcher les conditions

Tout ça, c’est bien beau, mais avoir un club fermé n’est pas forcément pour nous plaire : c’est assez ennuyeux, en somme. Relâchons légèrement les conditions : nous allons maintenant regarder les polyèdres convexes qui sont composés de plusieurs sortes de polygones réguliers, mais qui ont toujours la même propriété sur leur sommet : ceux-ci doivent être le point de rencontre des mêmes types de face, dans le même ordre.

Ces solides sont appelés les solides d’Archimède, et on en exclut en général les prismes et anti-prismes, fort peu intéressants.

Un exemple de solide d’Archimède, il s’agit du cuboctaèdre : composé de 6 carrés et 8 triangles équilatéraux, chaque sommet est entouré d’un triangle, d’un carré puis d’un triangle et de nouveau un carré

Comment obtenir tous ces solides ? Eh bien nous allons faire subir toutes sortes de choses à nos solides de Platon.

Le cuboctaèdre peut par exemple être vu comme un cube que l’on a tronqué au niveau des sommets, jusqu’au milieu de l’arête (on parle de solide rectifié). En s’arrêtant un peu avant, de manière à avoir des hexagones réguliers comme faces, on obtient un cube tronqué. En continuant l’opération, on arrivera finalement jusqu’à l’octaèdre tronqué, puis l’octaèdre.

La troncature des sommets permet de passer du cube au cube tronqué, au cuboctaèdre, à l’octaèdre tronqué, à l’octaèdre.. et inversement !

En tronquant un octaèdre, on peut faire tout le cheminement dans le sens inverse. Mais l’on peut également tronquer un cuboctaèdre : on obtient bien sûr un… cuboctaèdre tronqué, composé de 26 hexagones, octogones et carrés. On parle également de cube bitronqué

Tronquer un cuboctaèdre donne un nouveau solide d’Archimède

Quitte à bien limer notre solide, il est également possible d’attaquer ses arêtes : on dit alors que le solide est biseauté

En biseautant notre cube, on obtient un petit rhombicuboctaèdre

Dernière torture à infliger à notre solide, un peu moins évident : il est possible de l’adoucir. Cette opération consiste à écarter les faces et les faire pivoter de manière à faire entrer des triangles équilatéraux dans les espaces.

Tuto : Comment adoucir un cube ?

Et… C’est à peu près tout. En faisant de même avec le tétraèdre et le dodécaèdre, on obtient alors un total de 13 solides d’Archimède différent, dont toute la liste se trouve ici.

Vous y trouverez notamment le fameux icosaèdre tronqué, plus connu sous l’appellation ballon de football !

Et Catalan alors ?

J’y viens, rassurez-vous ! Les solides de Catalan adoptent le point de vue inverse des solides d’Archimède : les sommets sont différents mais toutes les faces doivent être les mêmes, indissociables les unes des autres.

Nous avons à notre disposition 13 solides d’Archimède, aux sommets identiques, et nous avons également une formidable transformation : le dual. Il faudra toutefois légèrement modifier la construction par rapport aux polyèdres réguliers, mais le principe reste le même : les sommets deviennent les faces et les faces deviennent des sommets.

Puisqu’un solide d’Archimède a tous ses sommets équivalents, le dual d’un solide d’Archimède aura toutes ses faces équivalentes. Il y a ainsi 13 solides de Catalan.

Voici par exemple le dual du cuboctaèdre, qui est le dodécaèdre rhombique

Le dual du cuboctaèdre est le dodécaèdre rhombique

Pour découvrir tous les solides de Catalan, c’est par ici !

Pour compléter

• Le site Mathcurve présente les polyèdres archimédiens et les liens avec les pavages du plan et de la sphère
• Pour visualiser les solides et les transformations pour passer de l’un à l’autre : https://polyhedra.tessera.li